Quitte à changer \(f\) en \(-f\), on peut supposer que \(f\) admet un maximum local en \(x_0\).
$$\exists \delta\gt 0 ; \forall x\in]x_0-\delta; \delta +x_0[\cap I,\quad f(x)\leq f(x_0)$$
Quitte à réduire \(\delta\), on peut supposer que \(]x_0-\delta; x_0+\delta[\subset I\)
$$\forall x\in]x_0-\delta; x_0+\delta[\quad f(x)\leq f(x_0)$$

• Soit \(x\in]x_0,x_0+\delta[\): $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0$$

$$f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0}\lim\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\rightarrow x_0^+}\lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0$$

• Soit \(x\in]x_0-\delta,x_0[\):

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$$
$$f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0}\lim\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\rightarrow x_0^-}\lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$$
Donc \(f'(x_0)\leq 0\) et \(f'(x_0)\geq 0\) d'où \(f'(x_0)=0\)